Phương trình Maxwell là nguyên tắc cơ bản của lý thuyết Điện từ, tạo thành một bộ bốn phương trình liên hệ giữa điện trường và từ trường. Thay vì liệt kê ra biểu diễn toán học của các phương trình Maxwell, chúng ta sẽ tập trung vào ý nghĩa thực tế của các phương trình đó trong bài viết này. Phương trình thứ nhất và thứ hai của Maxwell tương ứng với điện trường tĩnh và từ trường tĩnh. Phương trình thứ ba và thứ tư của Maxwell đề cập đến việc thay đổi từ trường và thay đổi điện trường tương ứng.
Các phương trình Maxwell là:
- Định luật Gauss về điện
- Luật từ tính Gauss
- Định luật cảm ứng Faraday
- Định luật Ampere
1. Định luật Gauss về điện
Định luật này nói rằng Dòng điện ra khỏi một bề mặt kín tỷ lệ với tổng điện tích bao quanh bề mặt đó. Định luật Gauss liên quan đến điện trường tĩnh.
Ta xét một điện tích dương Q. Ta biết rằng đường sức của điện trường hướng ra ngoài điện tích dương.
Chúng ta hãy xem xét một bề mặt đóng với Charge Q kèm theo nó. Vectơ Diện tích luôn được chọn Bình thường đối với nó vì nó đại diện cho hướng của bề mặt. Gọi góc tạo bởi vectơ Điện trường với vectơ diện tích là θ.
Dòng điện ψ là
Lý do chọn sản phẩm chấm là chúng ta cần tính xem có bao nhiêu thông lượng điện đi qua bề mặt được biểu diễn bằng véc tơ diện tích pháp tuyến.
Từ định luật coulombs, chúng ta biết rằng Điện trường (E) do một điện tích điểm là Q / 4πε 0 r 2.
Xét một phép đối xứng cầu, dạng Tích phân của định luật Gauss là:
Do đó Dòng điện Ψ = Q kèm theo / ε 0
Ở đây Q kèm theo đại diện cho tổng vectơ của tất cả các điện tích bên trong bề mặt. Vùng bao quanh điện tích có thể có hình dạng bất kỳ nhưng để áp dụng định luật Gauss, chúng ta phải chọn một bề mặt Gauss đối xứng và có sự phân bố điện tích đồng đều. Bề mặt Gauss có thể là hình trụ hoặc hình cầu hoặc mặt phẳng.
Để suy ra dạng vi phân của nó, chúng ta cần áp dụng định lý Phân kỳ.
Phương trình trên là hình thức khác nhau của Luật Gauss hoặc Maxwell phương trình tôi.
Trong phương trình trên, ρ đại diện cho mật độ điện tích Khối lượng. Khi chúng ta phải áp dụng định luật Gauss cho bề mặt có điện tích đường hoặc phân bố điện tích bề mặt, sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn phương trình với mật độ điện tích.
Do đó, chúng ta có thể suy ra rằng sự phân kỳ của điện trường trên một bề mặt đóng sẽ tạo ra lượng điện tích (ρ) bao quanh nó. Bằng cách áp dụng phân kỳ cho trường vectơ, chúng ta có thể biết liệu bề mặt được bao quanh bởi trường vectơ đang hoạt động như một nguồn hay phần chìm.
Ta xét một hình lập phương có điện tích dương như hình trên. Khi chúng ta áp dụng phân kỳ cho điện trường đi ra khỏi hình hộp (hình lập phương), kết quả của biểu thức toán học cho chúng ta biết rằng hình hộp (hình lập phương) được coi đóng vai trò là nguồn cung cấp điện trường được tính toán. Nếu kết quả là âm, nó cho chúng ta biết rằng hộp hoạt động như một bồn rửa tức là hộp chứa một điện tích âm trong đó. Nếu phân kỳ bằng 0, có nghĩa là không có điện tích trong đó.
Từ đó, chúng ta có thể suy ra rằng tồn tại các đơn cực điện.
2. Luật Từ trường Gauss
Chúng ta biết rằng đường sức từ đi từ cực Bắc sang cực Nam bên ngoài.
Vì có các đường sức từ do một nam châm vĩnh cửu nên sẽ có một mật độ từ thông liên kết (B) của nó. Khi chúng ta áp dụng định lý phân kỳ cho bề mặt S1, S2, S3 hoặc S4, chúng ta thấy rằng số lượng đường từ thông đi vào và đi ra khỏi bề mặt được chọn không đổi. Do đó kết quả của định lý phân kỳ là Zero. Ngay cả trong bề mặt S2 và S4, sự phân kỳ bằng không, có nghĩa là cả cực bắc và cực nam đều không đóng vai trò nguồn hoặc chìm như các điện tích. Ngay cả khi chúng ta áp dụng sự phân kỳ của từ trường (B) do một dây dẫn dòng điện mang lại, nó hóa ra bằng không.
Dạng tích phân của định luật Gauss của Từ tính là:
Dạng vi phân của định luật Gauss của Từ tính là:
Từ đó, chúng ta có thể suy ra rằng các đơn cực từ tính không tồn tại.
3. Định luật cảm ứng Faraday
Định luật Faraday phát biểu rằng khi có sự thay đổi trong từ thông (thay đổi theo thời gian) liên kết một cuộn dây hoặc bất kỳ vật dẫn nào, sẽ có EMF cảm ứng trong cuộn dây. Lenz's tuyên bố rằng EMF gây ra sẽ theo hướng mà nó chống lại sự thay đổi trong từ thông tạo ra nó.
Trong hình minh họa trên, khi một tấm dẫn hoặc một vật dẫn được đặt dưới tác dụng của từ trường thay đổi, dòng điện tuần hoàn được tạo ra trong nó. Dòng điện được cảm ứng theo hướng sao cho từ trường do nó tạo ra chống lại từ trường đã tạo ra nó. Từ minh họa này, rõ ràng là từ trường thay đổi hoặc thay đổi tạo ra một điện trường tuần hoàn.
Từ định luật Faraday, emf = - dϕ / dt
Chúng ta biết rằng, ϕ = bề mặt đóng ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Điện trường E = V / d
V = ʃ E.dl
Vì điện trường thay đổi so với bề mặt (cuộn tròn), nên tồn tại một hiệu điện thế V.
Do đó, dạng tích phân của phương trình thứ tư Maxwell là,
Bằng cách áp dụng định lý Stoke,
Lý do áp dụng định lý Stoke là khi chúng ta lấy một đường cong của một trường quay trên một bề mặt đóng, các thành phần cong bên trong của vector sẽ hủy lẫn nhau và điều này dẫn đến việc đánh giá trường vector dọc theo đường đóng.
Do đó, chúng tôi có thể viết rằng,
Dạng vi phân của phương trình Maxwell là
Từ biểu thức trên, rõ ràng rằng một từ trường thay đổi theo thời gian tạo ra một Điện trường tuần hoàn.
Chú ý: Trong tĩnh điện, độ cong của Điện trường bằng không vì nó xuất hiện hướng tâm ra ngoài điện tích và không có thành phần quay nào liên kết với nó.
4. Định luật Ampe
Định luật Ampere phát biểu rằng khi dòng điện chạy qua dây dẫn, nó tạo ra từ trường xung quanh nó. Về mặt toán học, tích phân dòng của từ trường xung quanh một vòng kín cho biết tổng dòng điện bao quanh nó.
ʃ B .dl = μ 0 Tôi kèm theo
Vì từ trường cuộn quanh dây dẫn, chúng ta có thể áp dụng định lý Stoke cho định luật Ampere.
Do đó phương trình trở thành
Chúng ta có thể biểu diễn dòng điện kèm theo mật độ dòng điện J.
B = μ 0 H bằng cách sử dụng quan hệ này, chúng ta có thể viết biểu thức dưới dạng
Khi chúng ta áp dụng phân kỳ cho sự cuộn tròn của trường vectơ quay, kết quả là không. Đó là bởi vì bề mặt đóng không hoạt động như một nguồn hoặc chìm tức là số lượng từ thông đi vào và đi ra khỏi bề mặt là như nhau. Điều này có thể được biểu diễn bằng toán học là,
Chúng ta hãy xem xét một mạch như minh họa dưới đây.
Đoạn mạch có một tụ điện được nối với nó. Khi chúng tôi áp dụng phân kỳ trong vùng S1, kết quả cho thấy nó khác không. Trong ký hiệu toán học,
Có dòng điện chạy trong mạch nhưng trong tụ điện, các điện tích được chuyển do thay đổi điện trường qua các bản tụ. Vì vậy, về mặt vật lý dòng điện không chạy qua nó. Maxwell đặt ra thông lượng điện thay đổi này là Dòng dịch chuyển (J D). Nhưng Maxwell đã đặt ra thuật ngữ Dòng dịch chuyển (J D) xem xét tính đối xứng của định luật Faraday, tức là nếu một từ trường thay đổi theo thời gian sẽ tạo ra một Điện trường thì do đối xứng, điện trường thay đổi sẽ tạo ra một từ trường.
Đường cong của cường độ từ trường (H) trong vùng S1 là
Dạng tích phân của phương trình thứ tư Maxwell có thể được biểu diễn như sau:
Dạng vi phân của phương trình thứ tư Maxwell là:
Tất cả bốn phương trình này ở dạng tích phân hoặc dạng vi phân gộp lại với nhau được gọi là Phương trình Maxwell.